一元二次方程的根与系数的关系

双基知识导学

1如果一元二次方程 （ ≠0）的两根为 ， ，由求根公式可得出 = ， · = 。这就是一元二次方程的根与系数的关系。

特别地，如果 的两个根为 ， ，那么 ， 。即 ， 。所以， ， 是方程 的两根。

2已知方程的一个根，可利用 ， 求出另一个根及未知系数的值。

3方程两根的倒数和 ，两根的平方和 。

4以 ， 为根的一元二次方程为 。

5一元二次方程根与系数关系的应用。

    （1）验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；

    （2）由已知方程的一个根，求出另一根及未知系数；

    （3）不解方程，可以利用韦达定理求关于 ， 的对称式的值，如 ， ， 等等；

    （4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程；

    （5）已知两数的和与积，求这两个数；

    （6）已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值；

    （7）证明方程系数之间的特殊关系；

    （8）解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等；

    （9）根 符号的讨论。

    利用韦达定理，还可进一步讨论根的符号，设一元二次方程 （ ≠0的两根为 、 。

    ①当Δ≥0，且 ＞0时，两根同号；

    ⅰ）当Δ≥0，且 ＞0， ＞0时，两根同为正数；

    ⅱ）当Δ≥0，且 ＞0， ＜0时，两根同为负数。

    ②当Δ＞0，且 ＜0时，两根异号。

    ⅰ）当Δ＞0，且 ＜0， ＞0时，两根异号且正根的绝对值较大。

    ⅱ）当Δ＞0，且 ＜0， ＜0时，两根异号且负根的绝对值较大。

疑难问题解析

    ①由给出两根满足的条件，确定字母的取值。

    这类问题综合性强，解题时要注意方程有两个实根是两根关系式存在的前提，即不仅要根据两根满足的条件，利用根与系数的关系得出关字母的方程，还要同时考虑 ≠0，Δ≥0这两个前提条件。

    ②判断方程两根的特殊关系。

    在一元二次方程 （ ≠0）有实数根的前提下，若 = ，即 ，则两根互为相反数；若 ，即 ，则两根互为倒数。

    ③判断两根的符号。

    由于 ， ，所以，

    当 ＜0即 ＜0时，两根异号。又若 ＞0即 ＜0，则正根的绝对值大；若 0即 ＞0，则负根的绝对值大。

    当 ＞0即 ＞0时，两根同号。又若 ＞0即 ＜0，则两根同正；若 ＜0即 ＞0，则两根同负。

    ④不解方程，求关于两根 ， 的对称式（ 换成 ， 换成 ，代数式不变）的值。此类求值问题，一般将所求代数式用两根之和，两根之积来表示，常见对称式的变形如下：

    ，

    ，

    ，

     ，

    ，

    | |=